Basiswissen

Was wird gezeigt?

• Inkonsistenzen sind Unstimmigkeiten, innere Widersprüche.
  

• Für die Gesetze zu gebrochenen Exponenten gibt es Definitionsbereiche.
  

• Definitionsbereiche meint: man darf das nur mit bestimmen Zahlenarten rechnen.
  

• Hier wird ein Beispiel gezeigt, wozu es diese Definitionsbereiche gibt.
  

• Gäbe es sie nicht, wäre die Mathematik dort in sich widersprüchlich.
  

Beispielhafte Inkonsistenz

• Man hat als Basis einer Potenz die Zahl -4.
  

• Sie soll hoch ein Halb (1/2) gerechnet werden.
  

• Siehe dazu auch Gebrochener Exponent ↗
  

• (-4)^(1/2) wäre wie (-4)^(2/4).
  

• Das kann man umformen zu: 4-te Wurzel aus (-4)²
  

• Das wäre identisch mit der 4-ten Wurzel aus 16.
  

• Die vierte Wurzel aus 16 ist genau 2.
  

• Kurz: (-4)^(1/2) gäbe 2.
  

• Hoch 1/2 meint aber auch: die "Quadratwurzel von".
  

• Also wäre die Quadratwurzel von -4 genau 2.
  

• Das ist aber falsch, -4 hat keine reelle Wurzel.
  

• Hier liegt also eine Inkonsistenz vor.
  

• Siehe auch Inkonsistenz [Definition] ↗
  

Wie vermeidet man die Inkonsistenz?

• Man schränkt ein, was als gebrochener Exponent m/n erlaubt ist.
  

• Für negative Basen wie z. B. die -4 gilt:
  

• Das m muss eine ganze Zahl sein.
  

• Das n muss eine ungerade natürliche Zahl sein.
  

• Der Bruch m/n muss vollständig gekürzt sein.
  

• Mit diesen Einschränkungen könnte man oben ...
  

• aus 1/2 nicht den Exponenten 2/4 machen.
  

• Damit kann auch die Inkonsistenz nicht auftreten.
  

• Siehe auch Definitionsbereich ↗